初级微积分示例

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$\ln (x - 1), 1$

解题步骤 1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$\ln (x - 1)$

解题步骤 2

将 $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ 中的每一项乘以 $\ln (x - 1)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ 中的每一项乘以 $\ln (x - 1)$ 。

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $\ln (x - 1)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$\ln (x + 1) = 2 \ln (x - 1)$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x - 1)$ 。

$\ln (x + 1) = \ln ({(x - 1)}^{2})$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

重写。

$x + 1 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

解题步骤 3.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1

运用分配律。

$x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

解题步骤 3.2.1.3.2

运用分配律。

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

解题步骤 3.2.1.3.3

运用分配律。

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.2.1.4.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.2.1.4.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.2.1.4.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.2.1.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

解题步骤 3.2.1.4.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

解题步骤 3.2.2

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 1$

解题步骤 3.2.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.3.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

解题步骤 3.2.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

解题步骤 3.2.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

解题步骤 3.2.5

合并 $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

解题步骤 3.2.5.2

将 $x^{2} - 3 x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 3.2.6

从 $x^{2} - 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - 3 x = 0$

解题步骤 3.2.6.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

解题步骤 3.2.6.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 3) = 0$

解题步骤 3.2.7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.2.8

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.9

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.9.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.2.9.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 3.2.10

最终解为使 $x (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3$

解题步骤 4

排除不能使 $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ 成立的解。

$x = 3$

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