初级微积分示例

$5 = \sec^{2} (x) + 3$

解题步骤 1

将方程重写为 $\sec^{2} (x) + 3 = 5$ 。

$\sec^{2} (x) + 3 = 5$

解题步骤 2

将所有不包含 $\sec (x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$\sec^{2} (x) = 5 - 3$

解题步骤 2.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\sec^{2} (x) = 2$

解题步骤 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 6

在 $\sec (x) = \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (\sqrt{2})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$arcsec (\sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 6.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4

化简 $2 π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 6.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 6.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 6.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 6.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\sec (x) = - \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$arcsec (- \sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7.4

化简 $2 π - \frac{3 π}{4}$ 。

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解题步骤 7.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7.4.2

合并分数。

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解题步骤 7.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 7.4.3

化简分子。

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解题步骤 7.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

解题步骤 7.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 7.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

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