初级微积分示例

$3 \cos (x) + 3 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 2 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $- 2 \sin^{2} (x)$ 。

$3 \cos (x) + 3 - 2 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$3 \cos (x) + 3 - 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$3 \cos (x) + 3 - 2 - 2 (- \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$3 \cos (x) + 3 - 2 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$3 \cos (x) + 1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 4

重新排列多项式。

$2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 5

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) + 1 = 0$

解题步骤 6

分组因式分解。

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解题步骤 6.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $3 u$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 u^{2} + 3 u + 1 = 0$

解题步骤 6.1.2

把 $3$ 重写为 $1$ 加 $2$

$2 u^{2} + (1 + 2) u + 1 = 0$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} + 1 u + 2 u + 1 = 0$

解题步骤 6.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + u + 2 u + 1 = 0$

解题步骤 6.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 u^{2} + u + 2 u + 1 = 0$

解题步骤 6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u + 1) + 1 (2 u + 1) = 0$

解题步骤 6.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u + 1) (u + 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u + 1 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 8

将 $2 u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $2 u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u + 1 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $u$ 的 $2 u + 1 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 u = - 1$

解题步骤 8.2.2

将 $2 u = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $2 u = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1}{2}$

解题步骤 9

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 10

最终解为使 $(2 u + 1) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = - \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 11

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 13

在 $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 13.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 13.4

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 13.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 13.4.2

合并分数。

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解题步骤 13.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 13.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 13.4.3

化简分子。

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解题步骤 13.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 13.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 13.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

在 $\cos (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 14.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 14.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 14.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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