初级微积分示例

$31 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + 21 y^{2} - 144 = 0$

解题步骤 1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2

将 $a = 31$ 、 $b = 10 \sqrt{3} y$ 和 $c = 21 y^{2} - 144$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

添加圆括号。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2

使 $u = 31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $10 \sqrt{3} y$ 运用乘积法则。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $10 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.3.4.1

约去公因数。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2.3.4.2

重写表达式。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2.3.5

计算指数。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.2.4

将 $100$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{300 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.3

从 $300 y^{2} - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

从 $300 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.3.2

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.3.3

从 $4 (75 y^{2}) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - u)}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.4

使用 $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 \cdot (21 y^{2} - 144)))}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.5

化简。

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解题步骤 3.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.5.1.1

运用分配律。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 (21 y^{2}) + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.5.1.2

将 $21$ 乘以 $31$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.5.1.3

将 $31$ 乘以 $- 144$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} - 4464))}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.5.1.4

运用分配律。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.5.1.5

将 $651$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 4464$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.5.2

从 $75 y^{2}$ 中减去 $651 y^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 576 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.6

从 $- 576 y^{2} + 4464$ 中分解出因数 $144$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

从 $- 576 y^{2}$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.6.2

从 $4464$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 144 (31))}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.6.3

从 $144 (- 4 y^{2}) + 144 (31)$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.7

将 $4$ 乘以 $144$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{576 (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.8

将 $576$ 重写为 $24^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{24^{2} (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.1.9

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{2 \cdot 31}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $31$ 。

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$

解题步骤 3.3

化简 $\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$ 。

$x = \frac{- 5 \sqrt{3} y \pm 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

解题步骤 4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y - 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y + 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

初级微积分 示例

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