初级微积分示例

$2 \sin (5 x) + \sqrt{3} = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sqrt{3}$ 。

$2 \sin (5 x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 2

将 $2 \sin (5 x) = - \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $2 \sin (5 x) = - \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $\sin (5 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (5 x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (5 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$5 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$5 x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 5

将 $5 x = - \frac{π}{3}$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $5 x = - \frac{π}{3}$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{3}}{5}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{3}}{5}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{5}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 5.3.2

乘以 $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{5 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$x = - \frac{π}{15}$

解题步骤 6

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$5 x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

解题步骤 7

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.1

从 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$5 x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

解题步骤 7.2

得出的角 $\frac{4 π}{3}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 共边。

$5 x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3

将 $5 x = \frac{4 π}{3}$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $5 x = \frac{4 π}{3}$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

解题步骤 7.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

解题步骤 7.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

解题步骤 7.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 7.3.3.2

乘以 $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 7.3.3.2.1

将 $\frac{4 π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 5}$

解题步骤 7.3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{4 π}{15}$

解题步骤 8

求 $\sin (5 x)$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $5$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 5 |}$

解题步骤 8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$\frac{2 π}{5}$

解题步骤 9

将 $\frac{2 π}{5}$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{2 π}{5}$ 加到 $- \frac{π}{15}$ 以求正角。

$- \frac{π}{15} + \frac{2 π}{5}$

解题步骤 9.2

要将 $\frac{2 π}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{15}$

解题步骤 9.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{2 π}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 π \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{π}{15}$

解题步骤 9.3.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 π \cdot 3}{15} - \frac{π}{15}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{15}$

解题步骤 9.5

化简分子。

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解题步骤 9.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 π - π}{15}$

解题步骤 9.5.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{5 π}{15}$

解题步骤 9.6

约去 $5$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 9.6.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (π)}{15}$

解题步骤 9.6.2

约去公因数。

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解题步骤 9.6.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 π}{5 \cdot 3}$

解题步骤 9.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 π}{5 \cdot 3}$

解题步骤 9.6.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{3}$

解题步骤 9.7

列出新角。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 10

$\sin (5 x)$ 函数的周期为 $\frac{2 π}{5}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{2 π}{5}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4 π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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