初级微积分示例

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) = 3 \ln (2)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2)$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x + 3)$ 。

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

解题步骤 2.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (2)$ 。

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (2^{3}) = 0$

解题步骤 2.1.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (8) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}) - \ln (8) = 0$

解题步骤 2.1.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}}{8}) = 0$

解题步骤 2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{1}{8}) = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 1) \cdot 8}) = 0$

解题步骤 2.1.6

将 $8$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

${(x + 3)}^{2} = e^{0} (8 (x + 1))$

解题步骤 5

化简 $e^{0} (8 (x + 1))$ 。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

${(x + 3)}^{2} = 1 (8 (x + 1))$

解题步骤 5.1.2

将 $8 (x + 1)$ 乘以 $1$ 。

${(x + 3)}^{2} = 8 (x + 1)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8 \cdot 1$

解题步骤 5.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8$

解题步骤 6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $8 x$ 。

${(x + 3)}^{2} - 8 x = 8$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x + 3)$ 。

$(x + 3) (x + 3) - 8 x = 8$

解题步骤 6.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 3)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

运用分配律。

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

解题步骤 6.2.2.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

解题步骤 6.2.2.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

解题步骤 6.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

解题步骤 6.2.3.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

解题步骤 6.2.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 8 x = 8$

解题步骤 6.2.3.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$x^{2} + 6 x + 9 - 8 x = 8$

解题步骤 6.3

从 $6 x$ 中减去 $8 x$ 。

$x^{2} - 2 x + 9 = 8$

解题步骤 7

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x^{2} - 2 x = 8 - 9$

解题步骤 7.2

从 $8$ 中减去 $9$ 。

$x^{2} - 2 x = - 1$

解题步骤 8

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

解题步骤 9

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

解题步骤 9.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 9.3

重写多项式。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

解题步骤 9.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 10

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 11

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

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