初级微积分示例

$3 x^{4} + 3 x^{3} - 17 x^{2} + x - 6 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$3 x^{3} + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.2

从 $3 x^{3} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x^{2}) + x \cdot 1 + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.2.4

从 $x (3 x^{2}) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 {(x^{2})}^{2} - 17 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

解题步骤 1.5

分组因式分解。

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解题步骤 1.5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ 并且它们的和为 $b = - 17$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $- 17 u$ 中分解出因数 $- 17$ 。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

解题步骤 1.5.1.2

把 $- 17$ 重写为 $1$ 加 $- 18$

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + (1 - 18) u - 6 = 0$

解题步骤 1.5.1.3

运用分配律。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + 1 u - 18 u - 6 = 0$

解题步骤 1.5.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

解题步骤 1.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

解题步骤 1.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x^{2} + 1) + u (3 u + 1) - 6 (3 u + 1) = 0$

解题步骤 1.5.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$x (3 x^{2} + 1) + (3 u + 1) (u - 6) = 0$

解题步骤 1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.7

从 $x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.7.1

从 $x (3 x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 1$ 。

$(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.7.2

从 $(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 1$ 。

$(3 x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.8

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(3 x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.9

使用 AC 法来对 $u + u^{2} - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 1.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(3 x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

解题步骤 1.10

因数。

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解题步骤 1.10.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3 x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

解题步骤 1.10.2

去掉多余的括号。

$(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 3

将 $3 x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $3 x^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x^{2} = - 1$

解题步骤 3.2.2

将 $3 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $3 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 3.2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- \frac{1}{3}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

解题步骤 3.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

解题步骤 3.2.4.3

一的任意次幂都为一。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.2.4.4

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.6

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 3.2.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.2.4.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 3.2.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.2.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.2.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.7.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.4.7.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 3.2.4.7.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.4.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 6

最终解为使 $(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, 2, - 3$

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