初级微积分示例

3 = {log}_{x} (512)

$3 = \log_{x} (512)$

解题步骤 1

将方程重写为

{log}_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ 。

{log}_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$

解题步骤 2

使用对数的定义将

{log}_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ 重写成指数形式。如果

x

$x$ 和

b

$b$ 是正实数且

b \neq 1

$b \neq 1$ ，则

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ 等价于

b^{y} = x

$b^{y} = x$ 。

x^{3} = 512

$x^{3} = 512$

解题步骤 3

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去

512

$512$ 。

x^{3} - 512 = 0

$x^{3} - 512 = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

将

512

$512$ 重写为

8^{3}

$8^{3}$ 。

x^{3} - 8^{3} = 0

$x^{3} - 8^{3} = 0$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中

a = x

$a = x$ 和

$b = 8$ 。

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

将

$8$ 移到

$x$ 的左侧。

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3.2

对

$8$ 进行

$2$ 次方运算。

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

解题步骤 3.4

将

$x - 8$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将

$x - 8$ 设为等于

$0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上

$8$ 。

$x = 8$

解题步骤 3.5

将

$x^{2} + 8 x + 64$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将

$x^{2} + 8 x + 64$ 设为等于

$0$ 。

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解

$x$ 的

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5.2.2

将

$a = 1$ 、

$b = 8$ 和

$c = 64$ 的值代入二次公式中并求解

$x$ 。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3

化简。

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解题步骤 3.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

对

$8$ 进行

$2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 64$ 。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$64$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.3

从

$64$ 中减去

$256$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.4

将

$- 192$ 重写为

$- 1 (192)$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.5

将

$\sqrt{- 1 (192)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.7

将

$192$ 重写为

$8^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.5.2.3.1.7.1

从

$192$ 中分解出因数

$64$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.7.2

将

$64$ 重写为

$8^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.1.9

将

$8$ 移到

$i$ 的左侧。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.3.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.5.2.3.3

化简

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

解题步骤 3.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

解题步骤 3.6

最终解为使

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ 成立的所有值。

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

初级微积分 示例

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