初级微积分示例

$3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} = 2$

解题步骤 1

求每项中都有的公因数 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$3 {(u)}^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

将 $5$ 乘以 $u$ 。

$3 u^{2} + 5 u - 2 = 0$

解题步骤 3.2

分组因式分解。

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解题步骤 3.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ 并且它们的和为 $b = 5$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $5 u$ 中分解出因数 $5$ 。

$3 u^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

解题步骤 3.2.1.2

把 $5$ 重写为 $- 1$ 加 $6$

$3 u^{2} + (- 1 + 6) u - 2 = 0$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$3 u^{2} - 1 u + 6 u - 2 = 0$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 u^{2} - 1 u) + 6 u - 2 = 0$

解题步骤 3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1) = 0$

解题步骤 3.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(3 u - 1) (u + 2) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

解题步骤 3.4

将 $3 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $3 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 u - 1 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $u$ 的 $3 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 u = 1$

解题步骤 3.4.2.2

将 $3 u = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $3 u = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.5

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 。

$u + 2 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$u = - 2$

解题步骤 3.6

最终解为使 $(3 u - 1) (u + 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{3}, - 2$

解题步骤 4

代入 $x$ 替换 $u$ 。

$x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}, - 2$

解题步骤 5

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程两边同时进行 $4$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 5.2

化简指数。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 5.2.1.1.2

化简。

$x = {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 ${(\frac{1}{3})}^{4}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$x = \frac{1^{4}}{3^{4}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{1}{3^{4}}$

解题步骤 5.2.2.1.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$x = \frac{1}{81}$

解题步骤 6

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{4}} = - 2$ 。

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解题步骤 6.1

将方程两边同时进行 $4$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 2)}^{4}$

解题步骤 6.2

化简指数。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(- 2)}^{4}$

解题步骤 6.2.1.1.2

化简。

$x = {(- 2)}^{4}$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$x = 16$

解题步骤 7

列出所有解。

$x = \frac{1}{81}, 16$

解题步骤 8

排除不能使 $3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} = 2$ 成立的解。

$x = \frac{1}{81}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{1}{81}$

小数形式：

$x = 0.01234567 \dots$

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