初级微积分示例

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5)$ 。

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解题步骤 2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{2} (x)$ 。

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (x + 5) = 4$

解题步骤 2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{4} = \frac{x^{2}}{x + 5}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

$x^{2} = 2^{4} (x + 5)$

解题步骤 5

化简 $2^{4} (x + 5)$ 。

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解题步骤 5.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$x^{2} = 16 (x + 5)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$x^{2} = 16 x + 16 \cdot 5$

解题步骤 5.3

将 $16$ 乘以 $5$ 。

$x^{2} = 16 x + 80$

解题步骤 6

从等式两边同时减去 $16 x$ 。

$x^{2} - 16 x = 80$

解题步骤 7

从 $x^{2} - 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - 16 x = 80$

解题步骤 7.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

解题步骤 7.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 16$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 16) = 80$

解题步骤 8

化简 $x (x - 16)$ 。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

解题步骤 8.2

化简表达式。

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解题步骤 8.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 16 = 80$

解题步骤 8.2.2

将 $- 16$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 16 x = 80$

解题步骤 9

从等式两边同时减去 $80$ 。

$x^{2} - 16 x - 80 = 0$

解题步骤 10

使用 AC 法来对 $x^{2} - 16 x - 80$ 进行因式分解。

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解题步骤 10.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 80$ ，和为 $- 16$ 。

$- 20, 4$

解题步骤 10.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 20) (x + 4) = 0$

解题步骤 11

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 20 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 12

将 $x - 20$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 20$ 设为等于 $0$ 。

$x - 20 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $20$ 。

$x = 20$

解题步骤 13

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 13.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 14

最终解为使 $(x - 20) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 20, - 4$

解题步骤 15

排除不能使 $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$ 成立的解。

$x = 20$

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