初级微积分示例

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 3 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \cos (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (x)$ 。

$2 u^{2} - u - 3 = 0$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 u^{2} - (u) - 3 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

把 $- 1$ 重写为 $2$ 加 $- 3$

$2 u^{2} + (2 - 3) u - 3 = 0$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} + 2 u - 3 u - 3 = 0$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 u^{2} + 2 u) - 3 u - 3 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 u (u + 1) - 3 (u + 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $u + 1$ 来因式分解多项式。

$(u + 1) (2 u - 3) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 3 = 0$

解题步骤 3

将 $\cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 3.2.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 3.2.5

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 3.2.6

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.7

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $2 \cos (x) - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 \cos (x) - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) - 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) - 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 \cos (x) = 3$

解题步骤 4.2.2

将 $2 \cos (x) = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2 \cos (x) = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2.3

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\frac{3}{2}$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 5

最终解为使 $(\cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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