初级微积分示例

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

解题步骤 1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ 。

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

解题步骤 1.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

解题步骤 1.3

要将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

解题步骤 1.4

要将 $- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

解题步骤 1.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ 的形式。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ 。

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

解题步骤 1.5.3

重新排序 $(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ 的因式。

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

解题步骤 1.7

从 $- 2 \sin (x)$ 中减去 $5 \sin (x)$ 。

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

解题步骤 2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

解题步骤 3

将 $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ 中的每一项乘以 $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ 中的每一项乘以 $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ 。

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.3.1.1

运用分配律。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

解题步骤 3.3.1.2

重新排序。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $3$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

解题步骤 3.3.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

解题步骤 3.3.2

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

移动 $\sin (x)$ 。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

解题步骤 3.3.2.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.3.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.3.3.1

运用分配律。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.3.3.2

乘。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

因为 $\sin (x)$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2

将所有包含 $\sin (x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $7 \sin (x)$ 。

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

解题步骤 4.2.2

将 $- 9 \sin (x)$ 和 $7 \sin (x)$ 相加。

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $3$ 。

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

解题步骤 4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5

将 $a = 6$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 3$ 的值代入二次公式中并求解 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

化简分子。

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解题步骤 4.6.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.6.1.2.2

将 $- 24$ 乘以 $- 3$ 。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.6.1.3

将 $4$ 和 $72$ 相加。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.6.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 4.6.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.6.1.5

从根式下提出各项。

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

解题步骤 4.6.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ 。

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

解题步骤 4.7

最终答案为两个解的组合。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

解题步骤 6

在 $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ 。

$x = 1.10430054$

解题步骤 6.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

解题步骤 6.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

解题步骤 6.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

解题步骤 6.4.3

从 $3.14159265$ 中减去 $1.10430054$ 。

$x = 2.0372921$

解题步骤 6.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ 。

$x = - 0.59416431$

解题步骤 7.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

解题步骤 7.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

解题步骤 7.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

解题步骤 7.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.59416431$ 相加。

$x = 3.73575697$

解题步骤 7.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.6.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.59416431$ 以求正角。

$- 0.59416431 + 2 π$

解题步骤 7.6.2

从 $2 π$ 中减去 $0.59416431$ 。

$5.68902098$

解题步骤 7.6.3

列出新角。

$x = 5.68902098$

解题步骤 7.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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