初级微积分示例

$9 (1 - \cos (x)) = \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{9 (1 - \cos (x))}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2

使用分子中的等效表达式替换 $\cos (x)$ 。

$9 (1 - \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3

运用分配律。

$(9 \cdot 1 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4

乘。

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解题步骤 4.1

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$(9 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$9 (\frac{1}{\cos (x)}) - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2

组合 $9$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $- 9 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.3.3

重写表达式。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

分离分数。

$\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{9}{1} \cdot \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.3

用 $9$ 除以 $1$ 。

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9

分离分数。

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x)$

解题步骤 11

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$9 \sec (x) - 9 = \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 12

化简左边。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$9 \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 12.1.2

组合 $9$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 13

化简右边。

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解题步骤 13.1

化简 $\sin (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 13.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 13.1.2

乘以 $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 13.1.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 13.1.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 13.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

解题步骤 13.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 14

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (\frac{9}{\cos (x)} - 9) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 15

运用分配律。

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 16

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

约去公因数。

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 16.2

重写表达式。

$9 + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 17

将 $- 9$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$9 - 9 \cdot \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 18

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 18.1

约去公因数。

$9 - 9 \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 18.2

重写表达式。

$9 - 9 \cos (x) = \sin^{2} (x)$

解题步骤 19

从等式两边同时减去 $\sin^{2} (x)$ 。

$9 - 9 \cos (x) - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 20

使用 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$9 - 9 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 21

求解 $x$ 。

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解题步骤 21.1

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$9 - 9 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

解题步骤 21.2

化简 $9 - 9 u - (1 - u^{2})$ 。

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解题步骤 21.2.1

化简每一项。

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解题步骤 21.2.1.1

运用分配律。

$9 - 9 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

解题步骤 21.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$9 - 9 u - 1 - - u^{2} = 0$

解题步骤 21.2.1.3

乘以 $- - u^{2}$ 。

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解题步骤 21.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$9 - 9 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

解题步骤 21.2.1.3.2

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$9 - 9 u - 1 + u^{2} = 0$

解题步骤 21.2.2

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$- 9 u + 8 + u^{2} = 0$

解题步骤 21.3

使用 AC 法来对 $- 9 u + 8 + u^{2}$ 进行因式分解。

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解题步骤 21.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 9$ 。

$- 8, - 1$

解题步骤 21.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u - 1) = 0$

解题步骤 21.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 21.5

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 21.5.1

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

解题步骤 21.5.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$u = 8$

解题步骤 21.6

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 21.6.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 21.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 21.7

最终解为使 $(u - 8) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 8, 1$

解题步骤 21.8

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = 8, 1$

解题步骤 21.9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = 8$

$\cos (x) = 1$

解题步骤 21.10

在 $\cos (x) = 8$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 21.10.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $8$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 21.11

在 $\cos (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 21.11.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 21.11.2

化简右边。

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解题步骤 21.11.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 21.11.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 21.11.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 21.11.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 21.11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 21.11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 21.11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 21.11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 21.11.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 21.12

列出所有解。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 21.13

合并答案。

$x = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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