初级微积分示例

$7 \cdot \sin^{2} (x) - 36 \cdot \sin (x) + 5 = 0$

解题步骤 1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 7 \cdot 5 = 35$ 并且它们的和为 $b = - 36$ 。

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解题步骤 1.1.1

把 $- 36$ 重写为 $- 1$ 加 $- 35$

$7 \cdot \sin^{2} (x) + (- 1 - 35) \sin (x) + 5 = 0$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$7 \cdot \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 35 \sin (x) + 5 = 0$

解题步骤 1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$7 \cdot \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 35 \sin (x) + 5 = 0$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\sin (x) (7 \cdot \sin (x) - 1) - 5 (7 \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 1.3

通过因式分解出最大公因数 $7 \cdot \sin (x) - 1$ 来因式分解多项式。

$(7 \cdot \sin (x) - 1) (\sin (x) - 5) = 0$

$(7 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 5) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$7 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 5 = 0$

解题步骤 3

将 $7 \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $7 \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$7 \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $7 \sin (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$7 \sin (x) = 1$

解题步骤 3.2.2

将 $7 \sin (x) = 1$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $7 \sin (x) = 1$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{1}{7}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{1}{7}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{7}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{7})$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

计算 $\arcsin (\frac{1}{7})$ 。

$x = 0.14334756$

解题步骤 3.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.14334756$

解题步骤 3.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.14334756$

解题步骤 3.2.6.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.14334756$

解题步骤 3.2.6.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.14334756$ 。

$x = 2.99824508$

解题步骤 3.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.14334756 + 2 π n, 2.99824508 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\sin (x) - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sin (x) - 5$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 5 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 5 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$\sin (x) = 5$

解题步骤 4.2.2

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $5$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 5

最终解为使 $(7 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0.14334756 + 2 π n, 2.99824508 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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