初级微积分示例

$\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{π}{3}$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{3} = \frac{4 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{3} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{12}$

解题步骤 3.6.3

将 $4 π$ 和 $3 π$ 相加。

$\frac{x}{3} = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 4

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

解题步骤 5.1.1.2

重写表达式。

$x = 3 \frac{7 π}{12}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = 3 \frac{7 π}{3 (4)}$

解题步骤 5.2.1.2

约去公因数。

$x = 3 \frac{7 π}{3 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 7.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.1.2

合并分数。

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解题步骤 7.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 7.1.3

化简分子。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 7.1.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 7.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.2

要将 $\frac{5 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.3

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $\frac{5 π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.4.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

解题步骤 7.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 7.2.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.6.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 7.2.6.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + 3 \cdot π}{12}$

解题步骤 7.2.6.3

将 $20 π$ 和 $3 π$ 相加。

$\frac{x}{3} = \frac{23 π}{12}$

解题步骤 7.3

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

解题步骤 7.4

化简方程的两边。

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解题步骤 7.4.1

化简左边。

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解题步骤 7.4.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

解题步骤 7.4.1.1.2

重写表达式。

$x = 3 \frac{23 π}{12}$

解题步骤 7.4.2

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = 3 \frac{23 π}{3 (4)}$

解题步骤 7.4.2.1.2

约去公因数。

$x = 3 \frac{23 π}{3 \cdot 4}$

解题步骤 7.4.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{23 π}{4}$

解题步骤 8

求 $\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{3}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

解题步骤 8.3

$\frac{1}{3}$ 约为 $0.\overline{3}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 8.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 3$

解题步骤 8.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 π$

解题步骤 9

$\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ 函数的周期为 $6 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $6 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{4} + 6 π n, \frac{23 π}{4} + 6 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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