初级微积分示例

{sin}^{2} (x) = \frac{1}{2}

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

化简

\pm \sqrt{\frac{1}{2}}

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

将

\sqrt{\frac{1}{2}}

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为

\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.2

1

$1$ 的任意次方根都是

1

$1$ 。

sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.3

将

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.1

将

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.2

对

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.4.3

对

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.4.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.4.6

将

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

2

$2$ 。

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解题步骤 2.4.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 重写成

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.6.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.6.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.4.6.5

计算指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4

建立每一个解以求解

$x$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5

在

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 5.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$x$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为

$\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.4

化简

$π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 5.4.1

要将

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.4.2.1

组合

$π$ 和

$\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.1

将

$4$ 移到

$π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 5.4.3.2

从

$4 π$ 中减去

$π$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.5

求

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.5.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.5.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.6

$\sin (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

在

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为

$- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从

$2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和

$π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.4.1

从

$2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去

$2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 6.4.2

得出的角

$\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比

$2 π$ 小，且与

$2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 6.5

求

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.6

将

$2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.6.1

将

$2 π$ 加到

$- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 6.6.2

要将

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.6.3

合并分数。

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解题步骤 6.6.3.1

组合

$2 π$ 和

$\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 6.6.4

化简分子。

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解题步骤 6.6.4.1

将

$4$ 乘以

$2$ 。

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 6.6.4.2

从

$8 π$ 中减去

$π$ 。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 6.6.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 6.7

$\sin (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 7

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数

$n$

初级微积分 示例

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