初级微积分示例

${(4 \cos (x) - 7 \sin (x))}^{2} + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2} = 65$

解题步骤 1

对等式两边进行平方。

${({(4 \cos (x) - 7 \sin (x))}^{2} + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2

化简 ${({(4 \cos (x) - 7 \sin (x))}^{2} + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(4 \cos (x) - 7 \sin (x))}^{2}$ 重写为 $(4 \cos (x) - 7 \sin (x)) (4 \cos (x) - 7 \sin (x))$ 。

${((4 \cos (x) - 7 \sin (x)) (4 \cos (x) - 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 \cos (x) - 7 \sin (x)) (4 \cos (x) - 7 \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

${(4 \cos (x) (4 \cos (x) - 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x) - 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

${(4 \cos (x) (4 \cos (x)) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x) - 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

${(4 \cos (x) (4 \cos (x)) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

乘以 $4 \cos (x) (4 \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

${(16 \cos (x) \cos (x) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(16 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(16 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(16 {\cos (x)}^{1 + 1} + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(16 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $4$ 乘以 $- 7$ 。

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4

乘以 $- 7 \sin (x) (- 7 \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.4.1

将 $- 7$ 乘以 $- 7$ 。

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 \sin (x) \sin (x) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 {\sin (x)}^{1 + 1} + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 \sin^{2} (x) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2

重新排序 $- 28 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.3

从 $- 28 \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $28 \cos (x) \sin (x)$ 。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.4

将 ${(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2}$ 重写为 $(7 \cos (x) + 4 \sin (x)) (7 \cos (x) + 4 \sin (x))$ 。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + (7 \cos (x) + 4 \sin (x)) (7 \cos (x) + 4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(7 \cos (x) + 4 \sin (x)) (7 \cos (x) + 4 \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

运用分配律。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 7 \cos (x) (7 \cos (x) + 4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x) + 4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.5.2

运用分配律。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 7 \cos (x) (7 \cos (x)) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x) + 4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.5.3

运用分配律。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 7 \cos (x) (7 \cos (x)) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1.1

乘以 $7 \cos (x) (7 \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.1.1

将 $7$ 乘以 $7$ 。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos (x) \cos (x) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 {\cos (x)}^{1 + 1} + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.2

将 $4$ 乘以 $7$ 。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.3

将 $7$ 乘以 $4$ 。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.4

乘以 $4 \sin (x) (4 \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.4.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 \sin (x) \sin (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.4.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 {\sin (x)}^{1 + 1})}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.2

重新排序 $28 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.3

将 $28 \cos (x) \sin (x)$ 和 $28 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 56 \cos (x) \sin (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.1

合并 $16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 56 \cos (x) \sin (x) + 16 \sin^{2} (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 56 \cos (x) \sin (x)$ 和 $56 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

${(16 \cos^{2} (x) + 0 + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $16 \cos^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

${(16 \cos^{2} (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.2.2

移动 $16 \sin^{2} (x)$ 。

${(16 \cos^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.2.3

从 $16 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $16$ 。

${(16 (\cos^{2} (x)) + 16 \sin^{2} (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.2.4

从 $16 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $16$ 。

${(16 (\cos^{2} (x)) + 16 (\sin^{2} (x)) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.2.5

从 $16 (\cos^{2} (x)) + 16 (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $16$ 。

${(16 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.3

重新整理项。

${(16 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.4

使用勾股恒等式。

${(16 \cdot 1 + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.5.1

从 $49 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $49$ 。

${(16 \cdot 1 + 49 (\sin^{2} (x)) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.5.2

从 $49 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $49$ 。

${(16 \cdot 1 + 49 (\sin^{2} (x)) + 49 (\cos^{2} (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.5.3

从 $49 (\sin^{2} (x)) + 49 (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $49$ 。

${(16 \cdot 1 + 49 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.6

使用勾股恒等式。

${(16 \cdot 1 + 49 \cdot 1)}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.7

化简项。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $16$ 乘以 $1$ 。

${(16 + 49 \cdot 1)}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.7.1.2

将 $49$ 乘以 $1$ 。

${(16 + 49)}^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.7.2

化简表达式。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $16$ 和 $49$ 相加。

$65^{2} = {(65)}^{2}$

解题步骤 2.7.2.2

对 $65$ 进行 $2$ 次方运算。

$4225 = {(65)}^{2}$

解题步骤 3

对 $65$ 进行 $2$ 次方运算。

$4225 = 4225$

解题步骤 4

因为 $4225 = 4225$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

初级微积分 示例

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