初级微积分示例

$(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

化简 $(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.2.2

运用分配律。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.1.2

重写表达式。

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.2

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $- 1$ 。

$\sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$\sin (x) + \frac{- 1 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.4

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.5

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.1.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\sin (x) - \tan (x) + \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 4

分离分数。

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 8

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 8.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 10

分离分数。

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 11

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 12

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 13

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

约去公因数。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 13.2

重写表达式。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 14

分离分数。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 15

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 16

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17

分离分数。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 18

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 19

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 20

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

解题步骤 21

对 $\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x)$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

解题步骤 21.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\tan (x) \cdot (1 - \sec (x)) + 1 (1 - \sec (x)) = 0$

解题步骤 21.2

通过因式分解出最大公因数 $1 - \sec (x)$ 来因式分解多项式。

$(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$

解题步骤 22

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$1 - \sec (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

解题步骤 23

将 $1 - \sec (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.1

将 $1 - \sec (x)$ 设为等于 $0$ 。

$1 - \sec (x) = 0$

解题步骤 23.2

求解 $x$ 的 $1 - \sec (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \sec (x) = - 1$

解题步骤 23.2.2

将 $- \sec (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.2.1

将 $- \sec (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sec (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 23.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sec (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 23.2.2.2.2

用 $\sec (x)$ 除以 $1$ 。

$\sec (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 23.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\sec (x) = 1$

解题步骤 23.2.3

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (1)$

解题步骤 23.2.4

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.4.1

$arcsec (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 23.2.5

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 23.2.6

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 23.2.7

求 $\sec (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 23.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 23.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 23.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 23.2.8

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 24

将 $\tan (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.1

将 $\tan (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) + 1 = 0$

解题步骤 24.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 24.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 24.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.2.3.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 24.2.4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 24.2.5

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.2.5.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 24.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 24.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 24.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 24.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 24.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 24.2.7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.2.7.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 24.2.7.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 24.2.7.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.2.7.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 24.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 24.2.7.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.2.7.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 24.2.7.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 24.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 24.2.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 25

最终解为使 $(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 26

将 $2 π n$ 和 $2 π + 2 π n$ 合并为 $2 π n$ 。

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

初级微积分示例