初级微积分示例

$\sin (x) + 3 \cos (x) = 2$

解题步骤 1

使用恒等式求解方程。在该恒等式中， $θ$ 表示在图像上画出点 $(a, b)$ 时所得形成的角，因此可以使用 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 来求得。

当 $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 和 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 时， $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

解题步骤 2

建立方程式以求 $θ$ 的值。

$\tan^{-1} (\frac{3}{1})$

解题步骤 3

取逆正切来求解方程 $θ$ 。

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解题步骤 3.1

用 $3$ 除以 $1$ 。

$θ = \tan^{-1} (3)$

解题步骤 3.2

计算 $\tan^{-1} (3)$ 。

$θ = 1.24904577$

解题步骤 4

求解出 $R$ 的值。

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解题步骤 4.1

一的任意次幂都为一。

$R = \sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \sqrt{1 + 9}$

解题步骤 4.3

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$R = \sqrt{10}$

解题步骤 5

将已知值代入方程中。

$(\sqrt{10}) \sin (x + 1.24904577) = 2$

解题步骤 6

将 $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ 中的每一项除以 $\sqrt{10}$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ 中的每一项都除以 $\sqrt{10}$ 。

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $\sqrt{10}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $\sin (x + 1.24904577)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

解题步骤 6.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 6.3.2.2

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

解题步骤 6.3.2.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

解题步骤 6.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 6.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{1}}$

解题步骤 6.3.2.6.5

计算指数。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10}$

解题步骤 6.3.3

约去 $2$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $2 \sqrt{10}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 (\sqrt{10})}{10}$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{\sqrt{10}}{5}$

解题步骤 7

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x + 1.24904577 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$

解题步骤 8

化简右边。

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解题步骤 8.1

计算 $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$ 。

$x + 1.24904577 = 0.6847192$

解题步骤 9

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1

从等式两边同时减去 $1.24904577$ 。

$x = 0.6847192 - 1.24904577$

解题步骤 9.2

从 $0.6847192$ 中减去 $1.24904577$ 。

$x = - 0.56432656$

解题步骤 10

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x + 1.24904577 = (3.14159265) - 0.6847192$

解题步骤 11

求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

从 $3.14159265$ 中减去 $0.6847192$ 。

$x + 1.24904577 = 2.45687345$

解题步骤 11.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 11.2.1

从等式两边同时减去 $1.24904577$ 。

$x = 2.45687345 - 1.24904577$

解题步骤 11.2.2

从 $2.45687345$ 中减去 $1.24904577$ 。

$x = 1.20782767$

解题步骤 12

求 $\sin (x + 1.24904577)$ 的周期。

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解题步骤 12.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 13.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.56432656$ 以求正角。

$- 0.56432656 + 2 π$

解题步骤 13.2

从 $2 π$ 中减去 $0.56432656$ 。

$5.71885873$

解题步骤 13.3

列出新角。

$x = 5.71885873$

解题步骤 14

$\sin (x + 1.24904577)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.20782767 + 2 π n, 5.71885873 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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