初级微积分示例

$\sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 2 (1 - \sin^{2} (x))$ 替换 $- 2 \cos^{2} (x)$ 。

$\sin (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) - 2 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\sin (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

重新排列多项式。

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$2 {(u)}^{2} + u - 2 = 0$

解题步骤 5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6

将 $a = 2$ 、 $b = 1$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

一的任意次幂都为一。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.1.3

将 $1$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 9

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

解题步骤 11

在 $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$ 。

$x = 0.89590748$

解题步骤 11.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$

解题步骤 11.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 11.4.1

从 $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 11.4.2

得出的角 $2.24568517$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ 共边。

$x = 2.24568517$

解题步骤 11.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

在 $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 13

列出所有解。

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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