初级微积分示例

$\sin (x) \cos (3 x) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

使用三倍角公式把 $\cos (3 x)$ 转换为 $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ 。

$\sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$\sin (x) (4 \cos^{3} (x)) + \sin (x) (- 3 \cos (x)) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

解题步骤 1.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) + \sin (x) (- 3 \cos (x)) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

解题步骤 1.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (3 x) = 0$

解题步骤 1.1.5

使用正弦三倍角公式。

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.1.6

运用分配律。

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + \cos (x) (3 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + \cos (x) (3 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2

合并 $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 1.2.1

按照 $- 3 \sin (x) \cos (x)$ 和 $3 \cos (x) \sin (x)$ 重新排列因数。

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $- 3 \cos (x) \sin (x)$ 和 $3 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) + 0 = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ 和 $0$ 相加。

$4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 2

对 $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

从 $4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $4 \sin (x) \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.2

因数。

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解题步骤 2.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

解题步骤 2.2.2

去掉多余的括号。

$4 \sin (x) \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 4

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 4.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 4.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\cos (x) + \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x) + \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.2.2

重写表达式。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.4

分离分数。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 6.2.6

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 6.2.7

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = 0$

解题步骤 6.2.8

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 6.2.9

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 6.2.10

化简右边。

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解题步骤 6.2.10.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.11

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 6.2.12

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.12.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 6.2.12.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6.2.13

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.13.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.2.13.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.2.13.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 6.2.14

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.2.14.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 6.2.14.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.14.3

合并分数。

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解题步骤 6.2.14.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.14.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 6.2.14.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.14.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 6.2.14.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 6.2.14.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6.2.15

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $\cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.2.2

重写表达式。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.3

分离分数。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.5

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.6

分离分数。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 7.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 7.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 - \tan (x) = 0$

解题步骤 7.2.10

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \tan (x) = - 1$

解题步骤 7.2.11

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.2.11.1

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 7.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.11.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 7.2.11.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 7.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.11.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 7.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 7.2.13

化简右边。

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解题步骤 7.2.13.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.14

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.15

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 7.2.15.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.15.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.15.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.15.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 7.2.15.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.15.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 7.2.15.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 7.2.16

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.2.16.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 7.2.16.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 7.2.16.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 7.2.16.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7.2.17

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

最终解为使 $4 \sin (x) \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

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解题步骤 9.1

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.2

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.3

将 $π n$ 和 $\frac{π}{2} + π n$ 合并为 $\frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.4

将 $\frac{3 π}{4} + π n$ 和 $\frac{π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.5

将 $\frac{π n}{2}$ 和 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 合并为 $\frac{π n}{4}$ 。

$x = \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.6

将 $\frac{π n}{4}$ 和 $\frac{5 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π n}{4}$ 。

$x = \frac{π n}{4}$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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