初级微积分示例

$\tan (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1

化简 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.4.1

约去公因数。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.6.4.2

重写表达式。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 1.2.6.5

计算指数。

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$3 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$3 x = \frac{π}{6}$

解题步骤 4

将 $3 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $3 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 4.3.2

乘以 $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{π}{18}$

解题步骤 5

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$3 x = π + \frac{π}{6}$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 6.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 6.1.3

在公分母上合并分子。

$3 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

解题步骤 6.1.4

将 $π \cdot 6$ 和 $π$ 相加。

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解题步骤 6.1.4.1

将 $π$ 和 $6$ 重新排序。

$3 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

解题步骤 6.1.4.2

将 $6 \cdot π$ 和 $π$ 相加。

$3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

解题步骤 6.2

将 $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.3.2

乘以 $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.3.2.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{7 π}{18}$

解题步骤 7

求 $\tan (3 x)$ 的周期。

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解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $3$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 3 |}$

解题步骤 7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{π}{3}$

解题步骤 8

$\tan (3 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{3}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{3}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{18} + \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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