初级微积分示例

$2^{2 x} + 2^{x + 2} = 12$

解题步骤 1

将 $2^{x + 2}$ 重写为 $2^{x} \cdot 2^{2}$ 。

$2^{2 x} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

解题步骤 2

将 $2^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $2^{x}$ 。

$u^{2} + u \cdot 2^{2} = 12$

解题步骤 4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u^{2} + u \cdot 4 = 12$

解题步骤 4.2

将 $4$ 移到 $u$ 的左侧。

$u^{2} + 4 u = 12$

$u^{2} + 4 u = 12$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $12$ 。

$u^{2} + 4 u - 12 = 0$

解题步骤 5.2

使用 AC 法来对 $u^{2} + 4 u - 12$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $4$ 。

$- 2, 6$

解题步骤 5.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 2) (u + 6) = 0$

$(u - 2) (u + 6) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

$u + 6 = 0$

解题步骤 5.4

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

$u = 2$

解题步骤 5.5

将 $u + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $u + 6$ 设为等于 $0$ 。

$u + 6 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$u = - 6$

$u = - 6$

解题步骤 5.6

最终解为使 $(u - 2) (u + 6) = 0$ 成立的所有值。

$u = 2, - 6$

$u = 2, - 6$

解题步骤 6

代入 $2$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$2 = 2^{x}$

解题步骤 7

求解 $2 = 2^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将方程重写为 $2^{x} = 2$ 。

$2^{x} = 2$

解题步骤 7.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{x} = 2^{1}$

解题步骤 7.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 1$

$x = 1$

解题步骤 8

代入 $- 6$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$- 6 = 2^{x}$

解题步骤 9

求解 $- 6 = 2^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将方程重写为 $2^{x} = - 6$ 。

$2^{x} = - 6$

解题步骤 9.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{x}) = \ln (- 6)$

解题步骤 9.3

因为 $\ln (- 6)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 9.4

$2^{x} = - 6$ 无解

无解

无解

解题步骤 10

列出使方程成立的解。

$x = 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$