初级微积分示例

$| x + 1 | = x^{2} - 5$

解题步骤 1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x + 1 = \pm (x^{2} - 5)$

解题步骤 2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x + 1 = x^{2} - 5$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$x + 1 - x^{2} = - 5$

解题步骤 2.3

在等式两边都加上 $5$ 。

$x + 1 - x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 2.4

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$x - x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 2.5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.5.1

从 $x - x^{2} + 6$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

将 $x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + x + 6 = 0$

解题步骤 2.5.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

解题步骤 2.5.1.3

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

解题步骤 2.5.1.4

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.5.1.5

从 $- (x^{2}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.5.1.6

从 $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

解题步骤 2.5.2

因数。

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解题步骤 2.5.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.5.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 2.5.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.5.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 2.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.7

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.7.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.8

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.8.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.9

最终解为使 $- (x - 3) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 2$

解题步骤 2.10

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x + 1 = - (x^{2} - 5)$

解题步骤 2.11

化简 $- (x^{2} - 5)$ 。

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解题步骤 2.11.1

重写。

$x + 1 = 0 + 0 - (x^{2} - 5)$

解题步骤 2.11.2

通过加上各个零进行化简。

$x + 1 = - (x^{2} - 5)$

解题步骤 2.11.3

运用分配律。

$x + 1 = - x^{2} - - 5$

解题步骤 2.11.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$x + 1 = - x^{2} + 5$

解题步骤 2.12

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$x + 1 + x^{2} = 5$

解题步骤 2.13

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 2.13.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x + 1 + x^{2} - 5 = 0$

解题步骤 2.13.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$x + x^{2} - 4 = 0$

解题步骤 2.14

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.15

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.16

化简。

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解题步骤 2.16.1

化简分子。

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解题步骤 2.16.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.16.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.16.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.16.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.16.1.3

将 $1$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.16.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

解题步骤 2.17

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

解题步骤 2.18

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 2, - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

解题步骤 3

排除不能使 $| x + 1 | = x^{2} - 5$ 成立的解。

$x = 3, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 3, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

小数形式：

$x = 3, - 2.56155281 \dots$

初级微积分 示例

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