初级微积分示例

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

解题步骤 1

两边同时乘以 $e^{x} - e^{- x}$ 。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

约去 $e^{x} - e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $3 (e^{x} - e^{- x})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $e^{- x}$ 重写为乘方形式。

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

解题步骤 3.2

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

解题步骤 3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

解题步骤 3.4

将 $e^{- x}$ 重写为乘方形式。

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

解题步骤 3.5

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

解题步骤 3.6

化简每一项。

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解题步骤 3.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

解题步骤 3.6.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

解题步骤 3.6.3

将负号移到分数的前面。

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

解题步骤 3.7

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.7.1

从等式两边同时减去 $3 e^{x}$ 。

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $3 e^{- x}$ 。

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

解题步骤 3.7.3

从 $e^{x}$ 中减去 $3 e^{x}$ 。

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

解题步骤 3.7.4

将 $e^{- x}$ 和 $3 e^{- x}$ 相加。

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

解题步骤 3.8

通过在等式两边同时加上 $- 2 e^{x}$ 的方法来将其移到等式右边。

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

解题步骤 3.9

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

解题步骤 3.10

展开左边。

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解题步骤 3.10.1

将 $\ln (4 e^{- x})$ 重写为 $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ 。

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

解题步骤 3.10.2

通过将 $- x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- x})$ 。

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

解题步骤 3.10.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

解题步骤 3.10.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

解题步骤 3.11

展开右边。

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解题步骤 3.11.1

将 $\ln (2 e^{x})$ 重写为 $\ln (2) + \ln (e^{x})$ 。

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

解题步骤 3.11.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

解题步骤 3.11.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

解题步骤 3.11.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

解题步骤 3.12

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

解题步骤 3.13

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

解题步骤 3.14

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\ln (2) = x + x$

解题步骤 3.15

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (2) = 2 x$

解题步骤 3.16

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$2 x = \ln (2)$

解题步骤 3.17

将 $2 x = \ln (2)$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.17.1

将 $2 x = \ln (2)$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

解题步骤 3.17.2

化简左边。

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解题步骤 3.17.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.17.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

解题步骤 3.17.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

小数形式：

$x = 0.34657359 \dots$

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