初级微积分示例

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

解题步骤 1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

解题步骤 2

展开左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

通过将 $x - 1$ 移到对数外来展开 $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ 。

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $2^{2 x}$ 乘以 $2^{2 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

解题步骤 2.2.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

解题步骤 2.3

通过将 $4 x$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{4 x})$ 。

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

解题步骤 3

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

化简 $(x - 1) (4 x \ln (2))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

通过相乘进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.1

运用分配律。

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

解题步骤 3.1.1.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

解题步骤 3.1.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

移动 $x$ 。

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

解题步骤 3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

解题步骤 3.1.3

将 $4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ 中的因式重新排序。

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

解题步骤 4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

解题步骤 5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6

将 $a = 4 \ln (2)$ 、 $b = - 4 \ln (2)$ 和 $c = - \ln (8)$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

添加圆括号。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.2

使 $u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.2.1

对 $- 4 \ln (2)$ 运用乘积法则。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.3

从 $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.3.1

从 $16 \ln^{2} (2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.3.2

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.3.3

从 $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.4

使用 $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.5.3

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.6

从 $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ 中分解出因数 $4 \ln (2)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.6.1

从 $4 \ln^{2} (2)$ 中分解出因数 $4 \ln (2)$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.6.2

从 $4 \ln (2) \ln (8)$ 中分解出因数 $4 \ln (2)$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.6.3

从 $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ 中分解出因数 $4 \ln (2)$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.8

将 $16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.8.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.8.3

添加圆括号。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.9

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ 。

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

小数形式：

$x = 1.5, - 0.5$

初级微积分 示例

初级微积分示例