初级微积分示例

${(2 x - 5)}^{3} - (2 x - 5) = 0$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

${(2 x - 5)}^{3} - (2 x) - - 5 = 0$

解题步骤 1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

${(2 x - 5)}^{3} - 2 x - - 5 = 0$

解题步骤 1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

${(2 x - 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1

使用二项式定理。

${(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2.3

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2.6

将 $- 5$ 乘以 $12$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 6 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2.8

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 6 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2.9

将 $25$ 乘以 $6$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.2.10

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x - 125 - 2 x + 5 = 0$

解题步骤 2.3

从 $150 x$ 中减去 $2 x$ 。

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 125 + 5 = 0$

解题步骤 2.4

将 $- 125$ 和 $5$ 相加。

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120 = 0$

解题步骤 2.5

以因式分解的形式重写 $8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120$ 。

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解题步骤 2.5.1

从 $8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

从 $8 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 x^{3}) - 60 x^{2} + 148 x - 120 = 0$

解题步骤 2.5.1.2

从 $- 60 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 148 x - 120 = 0$

解题步骤 2.5.1.3

从 $148 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (37 x) - 120 = 0$

解题步骤 2.5.1.4

从 $- 120$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (37 x) + 4 (- 30) = 0$

解题步骤 2.5.1.5

从 $4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2}) + 4 (37 x) + 4 (- 30) = 0$

解题步骤 2.5.1.6

从 $4 (2 x^{3} - 15 x^{2}) + 4 (37 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x) + 4 (- 30) = 0$

解题步骤 2.5.1.7

从 $4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x) + 4 (- 30)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30) = 0$

解题步骤 2.5.2

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.5.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 30, \pm 15, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2.5, \pm 6$

解题步骤 2.5.2.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.5.2.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2 \cdot 2^{3} - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

解题步骤 2.5.2.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 8 - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

解题步骤 2.5.2.3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

解题步骤 2.5.2.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 - 15 \cdot 4 + 37 \cdot 2 - 30$

解题步骤 2.5.2.3.5

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$16 - 60 + 37 \cdot 2 - 30$

解题步骤 2.5.2.3.6

从 $16$ 中减去 $60$ 。

$- 44 + 37 \cdot 2 - 30$

解题步骤 2.5.2.3.7

将 $37$ 乘以 $2$ 。

$- 44 + 74 - 30$

解题步骤 2.5.2.3.8

将 $- 44$ 和 $74$ 相加。

$30 - 30$

解题步骤 2.5.2.3.9

从 $30$ 中减去 $30$ 。

$0$

解题步骤 2.5.2.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30}{x - 2}$

解题步骤 2.5.2.5

用 $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ 除以 $x - 2$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$37 x$

$30$

解题步骤 2.5.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$

解题步骤 2.5.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 2.5.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 2.5.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

解题步骤 2.5.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$

解题步骤 2.5.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 11 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$

解题步骤 2.5.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

解题步骤 2.5.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 11 x^{2} + 22 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

解题步骤 2.5.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$

解题步骤 2.5.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$

解题步骤 2.5.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $15 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$

解题步骤 2.5.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

解题步骤 2.5.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $15 x - 30$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

解题步骤 2.5.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$
										$0$

解题步骤 2.5.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} - 11 x + 15$

解题步骤 2.5.2.6

将 $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ 书写为因数的集合。

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 11 x + 15)) = 0$

解题步骤 2.5.3

因数。

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解题步骤 2.5.3.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.5.3.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.5.3.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ 并且它们的和为 $b = - 11$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.1.1.1

从 $- 11 x$ 中分解出因数 $- 11$ 。

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 11 x + 15)) = 0$

解题步骤 2.5.3.1.1.1.2

把 $- 11$ 重写为 $- 5$ 加 $- 6$

$4 ((x - 2) (2 x^{2} + (- 5 - 6) x + 15)) = 0$

解题步骤 2.5.3.1.1.1.3

运用分配律。

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 5 x - 6 x + 15)) = 0$

解题步骤 2.5.3.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.5.3.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$4 ((x - 2) ((2 x^{2} - 5 x) - 6 x + 15)) = 0$

解题步骤 2.5.3.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$4 ((x - 2) (x (2 x - 5) - 3 (2 x - 5))) = 0$

解题步骤 2.5.3.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 5$ 来因式分解多项式。

$4 ((x - 2) ((2 x - 5) (x - 3))) = 0$

解题步骤 2.5.3.1.2

去掉多余的括号。

$4 ((x - 2) (2 x - 5) (x - 3)) = 0$

解题步骤 2.5.3.2

去掉多余的括号。

$4 (x - 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5

将 $2 x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $2 x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 5 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $2 x - 5 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$2 x = 5$

解题步骤 5.2.2

将 $2 x = 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $2 x = 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{5}{2}$

解题步骤 6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 7

最终解为使 $4 (x - 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, \frac{5}{2}, 3$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 2, \frac{5}{2}, 3$

小数形式：

$x = 2, 2.5, 3$

带分数形式：

$x = 2, 2 \frac{1}{2}, 3$

初级微积分 示例

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