初级微积分示例

${(8 x)}^{- 3} = 64$

解题步骤 1

化简 ${(8 x)}^{- 3}$ 。

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解题步骤 1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{{(8 x)}^{3}} = 64$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

对 $8 x$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{8^{3} x^{3}} = 64$

解题步骤 1.2.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{512 x^{3}} = 64$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$512 x^{3}, 1$

解题步骤 2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$512 x^{3}$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ 中的每一项乘以 $512 x^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ 中的每一项乘以 $512 x^{3}$ 。

$\frac{1}{512 x^{3}} (512 x^{3}) = 64 (512 x^{3})$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

解题步骤 3.2.2

约去 $512$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $512 x^{3}$ 中分解出因数 $512$ 。

$512 \frac{1}{512 (x^{3})} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

解题步骤 3.2.3

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$1 = 64 (512 x^{3})$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将 $512$ 乘以 $64$ 。

$1 = 32768 x^{3}$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $32768 x^{3} = 1$ 。

$32768 x^{3} = 1$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$32768 x^{3} - 1 = 0$

解题步骤 4.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1

将 $32768 x^{3}$ 重写为 ${(32 x)}^{3}$ 。

${(32 x)}^{3} - 1 = 0$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

${(32 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

解题步骤 4.3.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 32 x$ 和 $b = 1$ 。

$(32 x - 1) ({(32 x)}^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 4.3.4

化简。

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解题步骤 4.3.4.1

对 $32 x$ 运用乘积法则。

$(32 x - 1) (32^{2} x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 4.3.4.2

对 $32$ 进行 $2$ 次方运算。

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 4.3.4.3

将 $32$ 乘以 $1$ 。

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 4.3.4.4

一的任意次幂都为一。

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$

解题步骤 4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$32 x - 1 = 0$

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

解题步骤 4.5

将 $32 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $32 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$32 x - 1 = 0$

解题步骤 4.5.2

求解 $x$ 的 $32 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$32 x = 1$

解题步骤 4.5.2.2

将 $32 x = 1$ 中的每一项除以 $32$ 并化简。

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解题步骤 4.5.2.2.1

将 $32 x = 1$ 中的每一项都除以 $32$ 。

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

解题步骤 4.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.2.2.1

约去 $32$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

解题步骤 4.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{32}$

解题步骤 4.6

将 $1024 x^{2} + 32 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $1024 x^{2} + 32 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

解题步骤 4.6.2

求解 $x$ 的 $1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.6.2.2

将 $a = 1024$ 、 $b = 32$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (1024 \cdot 1)}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3

化简。

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解题步骤 4.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.6.2.3.1.1

对 $32$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 1024 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1024 \cdot 1$ 。

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解题步骤 4.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1024$ 。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.2.2

将 $- 4096$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.3

从 $1024$ 中减去 $4096$ 。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 3072}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.4

将 $- 3072$ 重写为 $- 1 (3072)$ 。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3072}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3072)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}$ 。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.7

将 $3072$ 重写为 $32^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.6.2.3.1.7.1

从 $3072$ 中分解出因数 $1024$ 。

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{1024 (3)}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.7.2

将 $1024$ 重写为 $32^{2}$ 。

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{32^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot (32 \sqrt{3})}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.1.9

将 $32$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1024}$

解题步骤 4.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1024$ 。

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$

解题步骤 4.6.2.3.3

化简 $\frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{64}$

解题步骤 4.6.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$

解题步骤 4.7

最终解为使 $(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{32}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$

初级微积分 示例

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