初级微积分示例

\cos^{2} (x) - 2.4 \cos (x) - 0.81 = 0

$\cos^{2} (x) - 2.4 \cos (x) - 0.81 = 0$

解题步骤 1

代入

u

$u$ 替换

\cos (x)

$\cos (x)$ 。

{(u)}^{2} - 2.4 u - 0.81 = 0

${(u)}^{2} - 2.4 u - 0.81 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将

a = 1

$a = 1$ 、

b = - 2.4

$b = - 2.4$ 和

c = - 0.81

$c = - 0.81$ 的值代入二次公式中并求解

u

$u$ 。

\frac{2.4 \pm \sqrt{{(- 2.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 0.81)}}{2 \cdot 1}

$\frac{2.4 \pm \sqrt{{(- 2.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 0.81)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对

- 2.4

$- 2.4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot 1 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot 1 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

乘以

- 4 \cdot 1 \cdot - 0.81

$- 4 \cdot 1 \cdot - 0.81$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 0.81

$- 0.81$ 。

u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 + 3.24}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 + 3.24}}{2 \cdot 1}$

u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 + 3.24}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 + 3.24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

将

5.76

$5.76$ 和

3.24

$3.24$ 相加。

u = \frac{2.4 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4

将

9

$9$ 重写为

3^{2}

$3^{2}$ 。

u = \frac{2.4 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

u = \frac{2.4 \pm 3}{2 \cdot 1}

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2 \cdot 1}$

u = \frac{2.4 \pm 3}{2 \cdot 1}

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

u = \frac{2.4 \pm 3}{2}

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2}$

u = \frac{2.4 \pm 3}{2}

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

u = 2.7, - 0.3

$u = 2.7, - 0.3$

解题步骤 6

代入

\cos (x)

$\cos (x)$ 替换

u

$u$ 。

\cos (x) = 2.7, - 0.3

$\cos (x) = 2.7, - 0.3$

解题步骤 7

建立每一个解以求解

x

$x$ 。

\cos (x) = 2.7

$\cos (x) = 2.7$

\cos (x) = - 0.3

$\cos (x) = - 0.3$

解题步骤 8

在

\cos (x) = 2.7

$\cos (x) = 2.7$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 8.1

余弦的值域是

- 1 \leq y \leq 1

$- 1 \leq y \leq 1$ 。因为

2.7

$2.7$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 9

在

\cos (x) = - 0.3

$\cos (x) = - 0.3$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

x

$x$ 。

x = \arccos (- 0.3)

$x = \arccos (- 0.3)$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

计算

\arccos (- 0.3)

$\arccos (- 0.3)$ 。

x = 1.87548898

$x = 1.87548898$

x = 1.87548898

$x = 1.87548898$

解题步骤 9.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从

2 π

$2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

x = 2 (3.14159265) - 1.87548898

$x = 2 (3.14159265) - 1.87548898$

解题步骤 9.4

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 9.4.1

去掉圆括号。

x = 2 (3.14159265) - 1.87548898

$x = 2 (3.14159265) - 1.87548898$

解题步骤 9.4.2

化简

2 (3.14159265) - 1.87548898

$2 (3.14159265) - 1.87548898$ 。

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解题步骤 9.4.2.1

将

2

$2$ 乘以

3.14159265

$3.14159265$ 。

x = 6.2831853 - 1.87548898

$x = 6.2831853 - 1.87548898$

解题步骤 9.4.2.2

从

6.2831853

$6.2831853$ 中减去

1.87548898

$1.87548898$ 。

x = 4.40769632

$x = 4.40769632$

x = 4.40769632

$x = 4.40769632$

x = 4.40769632

$x = 4.40769632$

解题步骤 9.5

求

\cos (x)

$\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 9.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 9.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 9.6

\cos (x)

$\cos (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 10

列出所有解。

x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

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