初级微积分示例

$\sin (2 t) = \sqrt{2} \cos (t)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sqrt{2} \cos (t)$ 。

$\sin (2 t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

解题步骤 2

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

解题步骤 3

从 $2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t)$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $2 \sin (t) \cos (t)$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$\cos (t) (2 \sin (t)) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- \sqrt{2} \cos (t)$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2}) = 0$

解题步骤 3.3

从 $\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2})$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (t) = 0$

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

解题步骤 5

将 $\cos (t)$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (t)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (t) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $t$ 的 $\cos (t) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $t$ 。

$t = \arccos (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$t = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$t = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$t = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.2.5

求 $\cos (t)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\cos (t)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $t$ 的 $2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $\sqrt{2}$ 。

$2 \sin (t) = \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.2

将 $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $\sin (t)$ 除以 $1$ 。

$\sin (t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$t = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$t = \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$t = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.6

化简 $π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 6.2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$t = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$t = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$t = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 6.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.6.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$t = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 6.2.6.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$t = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6.2.7

求 $\sin (t)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.8

$\sin (t)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$t = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$ 成立的所有值。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$t = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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