初级微积分示例

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 1

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $\cot^{2} (u) + 1$ 替换 $\csc^{2} (u)$ 。

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

化简 $\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

移动 $1$ 。

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.2

重新整理项。

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.3

使用勾股恒等式。

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4

化简项。

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解题步骤 3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.4.1.1

将 $\csc (u)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.1.2

对 $\frac{1}{\sin (u)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.1.4

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 3.1.4.1.4.1

添加圆括号。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.1.4.2

将 $\cos (u)$ 和 $\sec (u)$ 重新排序。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.1.4.3

将 $- \cos (u) \sec (u)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.1.4.4

约去公因数。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.4.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.2.2

将 $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.4.2.3

将 $\frac{1}{\sin (u)}$ 转换成 $\csc (u)$ 。

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

解题步骤 3.1.5

使用勾股恒等式。

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

解题步骤 4

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

将绝对值方程重写成不带绝对值符号的四个方程。

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

解题步骤 5.2

化简后，只需求解两个有唯一解的方程。

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

解题步骤 5.3

求解 $u$ 的 $\cot (u) = \cot (u)$ 。

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解题步骤 5.3.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$u = u$

解题步骤 5.3.2

将所有包含 $u$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.3.2.1

从等式两边同时减去 $u$ 。

$u - u = 0$

解题步骤 5.3.2.2

从 $u$ 中减去 $u$ 。

$0 = 0$

解题步骤 5.3.3

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

所有实数

解题步骤 5.4

求解 $u$ 的 $\cot (u) = - \cot (u)$ 。

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解题步骤 5.4.1

将所有包含 $\cot (u)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.4.1.1

在等式两边都加上 $\cot (u)$ 。

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

解题步骤 5.4.1.2

将 $\cot (u)$ 和 $\cot (u)$ 相加。

$2 \cot (u) = 0$

解题步骤 5.4.2

将 $2 \cot (u) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $2 \cot (u) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.4.2.2.1.2

用 $\cot (u)$ 除以 $1$ 。

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\cot (u) = 0$

解题步骤 5.4.3

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $u$ 。

$u = arccot (0)$

解题步骤 5.4.4

化简右边。

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解题步骤 5.4.4.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$u = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4.5

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$u = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4.6

化简 $π + \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.4.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4.6.2

合并分数。

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解题步骤 5.4.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4.6.2.2

在公分母上合并分子。

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 5.4.6.3

化简分子。

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解题步骤 5.4.6.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 5.4.6.3.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$u = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.4.7

求 $\cot (u)$ 的周期。

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解题步骤 5.4.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.4.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.4.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.4.7.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.4.8

$\cot (u)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

合并答案。

$u = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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