初级微积分示例

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}$

解题步骤 1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = v$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4$

解题步骤 2.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.3

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.5

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 2.7

$v - 1$ 的因式是 $v - 1$ 本身。

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.8

$v + 1$ 的因式是 $v + 1$ 本身。

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.9

$v - 1$ 的因式是 $v - 1$ 本身。

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.10

$v - 1, v + 1, v - 1$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(v - 1) (v + 1)$

解题步骤 2.11

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$4 (v - 1) (v + 1)$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ 中的每一项乘以 $4 (v - 1) (v + 1)$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ 中的每一项乘以 $4 (v - 1) (v + 1)$ 。

$\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.2.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.2.3

重写表达式。

$2 \frac{1}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{v - 1}$ 。

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.4

约去 $v - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.4.2

重写表达式。

$2 (v + 1) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.5

运用分配律。

$2 v + 2 \cdot 1 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 v + 2 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$2 v + 2 + 4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.8

乘以 $4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ 。

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解题步骤 3.2.1.8.1

组合 $4$ 和 $\frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ 。

$2 v + 2 + \frac{4 \cdot 3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.8.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$2 v + 2 + \frac{12}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.9

约去 $(v - 1) (v + 1)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.9.1

从 $(v + 1) (v - 1)$ 中分解出因数 $(v - 1) (v + 1)$ 。

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) (1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.9.2

约去公因数。

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) \cdot 1} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.1.9.3

重写表达式。

$2 v + 2 + 12 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 和 $12$ 相加。

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $4 (v - 1) (v + 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$2 v + 14 = (v - 1) (v + 1)$

解题步骤 3.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(v - 1) (v + 1)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

运用分配律。

$2 v + 14 = v (v + 1) - 1 (v + 1)$

解题步骤 3.3.2.2

运用分配律。

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 (v + 1)$

解题步骤 3.3.2.3

运用分配律。

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

化简项。

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解题步骤 3.3.3.1

合并 $v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

按照 $v \cdot 1$ 和 $- 1 v$ 重新排列因数。

$2 v + 14 = v \cdot v + 1 v - 1 v - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3.1.2

从 $1 v$ 中减去 $1 v$ 。

$2 v + 14 = v \cdot v + 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3.1.3

将 $v \cdot v$ 和 $0$ 相加。

$2 v + 14 = v \cdot v - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$2 v + 14 = v^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 v + 14 = v^{2} - 1$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $v^{2}$ 。

$2 v + 14 - v^{2} = - 1$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 v + 14 - v^{2} + 1 = 0$

解题步骤 4.3

将 $14$ 和 $1$ 相加。

$2 v - v^{2} + 15 = 0$

解题步骤 4.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.4.1

从 $2 v - v^{2} + 15$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 4.4.1.1

将 $2 v$ 和 $- v^{2}$ 重新排序。

$- v^{2} + 2 v + 15 = 0$

解题步骤 4.4.1.2

从 $- v^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (v^{2}) + 2 v + 15 = 0$

解题步骤 4.4.1.3

从 $2 v$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (v^{2}) - (- 2 v) + 15 = 0$

解题步骤 4.4.1.4

将 $15$ 重写为 $- 1 (- 15)$ 。

$- (v^{2}) - (- 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

解题步骤 4.4.1.5

从 $- (v^{2}) - (- 2 v)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (v^{2} - 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

解题步骤 4.4.1.6

从 $- (v^{2} - 2 v) - 1 (- 15)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (v^{2} - 2 v - 15) = 0$

解题步骤 4.4.2

因数。

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解题步骤 4.4.2.1

使用 AC 法来对 $v^{2} - 2 v - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.4.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 4.4.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((v - 5) (v + 3)) = 0$

解题步骤 4.4.2.2

去掉多余的括号。

$- (v - 5) (v + 3) = 0$

解题步骤 4.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$v - 5 = 0$

$v + 3 = 0$

解题步骤 4.6

将 $v - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $v$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $v - 5$ 设为等于 $0$ 。

$v - 5 = 0$

解题步骤 4.6.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$v = 5$

解题步骤 4.7

将 $v + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $v$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $v + 3$ 设为等于 $0$ 。

$v + 3 = 0$

解题步骤 4.7.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$v = - 3$

解题步骤 4.8

最终解为使 $- (v - 5) (v + 3) = 0$ 成立的所有值。

$v = 5, - 3$

初级微积分 示例

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