初级微积分示例

$p = \frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ 。

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

${(r + R)}^{2}, 1$

解题步骤 2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

${(r + R)}^{2}$

解题步骤 3

将 $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ 中的每一项乘以 ${(r + R)}^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ 中的每一项乘以 ${(r + R)}^{2}$ 。

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 ${(r + R)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$a^{2} R = p {(r + R)}^{2}$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

化简 $p {(r + R)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 ${(r + R)}^{2}$ 重写为 $(r + R) (r + R)$ 。

$a^{2} R = p ((r + R) (r + R))$

解题步骤 4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(r + R) (r + R)$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

运用分配律。

$a^{2} R = p (r (r + R) + R (r + R))$

解题步骤 4.1.2.2

运用分配律。

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R (r + R))$

解题步骤 4.1.2.3

运用分配律。

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R r + R \cdot R)$

解题步骤 4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.1.1

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R \cdot R)$

解题步骤 4.1.3.1.2

将 $R$ 乘以 $R$ 。

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R^{2})$

解题步骤 4.1.3.2

将 $r R$ 和 $R r$ 相加。

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解题步骤 4.1.3.2.1

将 $R$ 和 $r$ 重新排序。

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + r R + R^{2})$

解题步骤 4.1.3.2.2

将 $r R$ 和 $r R$ 相加。

$a^{2} R = p (r^{2} + 2 r R + R^{2})$

解题步骤 4.1.4

运用分配律。

$a^{2} R = p r^{2} + p (2 r R) + p R^{2}$

解题步骤 4.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$a^{2} R = p r^{2} + 2 p r R + p R^{2}$

解题步骤 4.2

因为 $R$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} = a^{2} R$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $a^{2} R$ 。

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} - a^{2} R = 0$

解题步骤 4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5

将 $a = p$ 、 $b = 2 p r - a^{2}$ 和 $c = p r^{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $R$ 。

$\frac{- (2 p r - a^{2}) \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (p \cdot (p r^{2}))}}{2 p}$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$R = \frac{- (2 p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

解题步骤 4.6.3

乘以 $- - a^{2}$ 。

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解题步骤 4.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$R = \frac{- 2 (p r) + 1 a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

解题步骤 4.6.3.2

将 $a^{2}$ 乘以 $1$ 。

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

解题步骤 4.6.4

将 $4 \cdot p \cdot (p r^{2})$ 重写为 ${(2 p r)}^{2}$ 。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - {(2 p r)}^{2}}}{2 p}$

解题步骤 4.6.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 p r - a^{2}$ 和 $b = 2 p r$ 。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(2 p r - a^{2} + 2 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

解题步骤 4.6.6

化简。

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解题步骤 4.6.6.1

将 $2 p r$ 和 $2 p r$ 相加。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

解题步骤 4.6.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - 2 (p r))}}{2 p}$

解题步骤 4.6.6.3

从 $2 p r$ 中减去 $2 p r$ 。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (- a^{2} + 0)}}{2 p}$

解题步骤 4.6.6.4

将 $- a^{2}$ 和 $0$ 相加。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) \cdot (- 1 a^{2})}}{2 p}$

解题步骤 4.6.6.5

提取负因数。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- ((- a^{2} + 4 p r) a^{2})}}{2 p}$

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}}}{2 p}$

解题步骤 4.6.7

将 $- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}$ 重写为 $a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))$ 。

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解题步骤 4.6.7.1

移动 $- a^{2} + 4 p r$ 。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- 1 a^{2} (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

解题步骤 4.6.7.2

将 $- 1$ 和 $a^{2}$ 重新排序。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 4 p r))}}{2 p}$

解题步骤 4.6.7.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

解题步骤 4.6.7.4

添加圆括号。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

解题步骤 4.6.8

从根式下提出各项。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 2^{2} p r)}}{2 p}$

解题步骤 4.6.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

解题步骤 4.7

最终答案为两个解的组合。

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

初级微积分 示例

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