初级微积分示例

$\cot^{2} (t) = 3$

解题步骤 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (t) = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cot (t) = \sqrt{3}$

解题步骤 2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cot (t) = - \sqrt{3}$

解题步骤 2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cot (t) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 3

建立每一个解以求解 $t$ 。

$\cot (t) = \sqrt{3}$

$\cot (t) = - \sqrt{3}$

解题步骤 4

在 $\cot (t) = \sqrt{3}$ 中求解 $t$ 。

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解题步骤 4.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $t$ 。

$t = arccot (\sqrt{3})$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

$arccot (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$t = \frac{π}{6}$

解题步骤 4.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$t = π + \frac{π}{6}$

解题步骤 4.4

化简 $π + \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 4.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$t = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 4.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$t = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 4.4.2.2

在公分母上合并分子。

$t = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

解题步骤 4.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$t = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

解题步骤 4.4.3.2

将 $6 π$ 和 $π$ 相加。

$t = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 4.5

求 $\cot (t)$ 的周期。

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解题步骤 4.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.6

$\cot (t)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$t = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

在 $\cot (t) = - \sqrt{3}$ 中求解 $t$ 。

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解题步骤 5.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $t$ 。

$t = arccot (- \sqrt{3})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

$arccot (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$t = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$t = \frac{5 π}{6} - π$

解题步骤 5.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.4.1

将 $2 π$ 加上 $\frac{5 π}{6} - π$ 。

$t = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

解题步骤 5.4.2

得出的角 $\frac{11 π}{6}$ 是正角度且与 $\frac{5 π}{6} - π$ 共边。

$t = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 5.5

求 $\cot (t)$ 的周期。

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解题步骤 5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.6

$\cot (t)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$t = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

列出所有解。

$t = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并解集。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{π}{6} + π n$ 和 $\frac{7 π}{6} + π n$ 合并为 $\frac{π}{6} + π n$ 。

$t = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.2

将 $\frac{5 π}{6} + π n$ 和 $\frac{11 π}{6} + π n$ 合并为 $\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$t = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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