初级微积分示例

${(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

对 $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

解题步骤 1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2}$

解题步骤 1.3

对 $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - \frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - \frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 2

在公分母上合并分子。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将 ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ 重写为 $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.3

化简 $e^{0}$ 。

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.4

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.4.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.5

化简 $e^{0}$ 。

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.6

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.3.1.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.6.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.4

将 ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ 重写为 $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - ((e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.5

使用 FOIL 方法展开 $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ 。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.5.3

运用分配律。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.1.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.3

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.6.1.3.1

移动 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.3.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.4

化简 $- e^{0}$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.5

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.6.1.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.5.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.6

化简 $- e^{0}$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x})}{4}$

解题步骤 3.6.1.8

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.6.1.8.1

移动 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}))}{4}$

解题步骤 3.6.1.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x})}{4}$

解题步骤 3.6.1.8.3

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x})}{4}$

解题步骤 3.6.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x})}{4}$

解题步骤 3.6.1.10

将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x})}{4}$

解题步骤 3.6.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x})}{4}$

解题步骤 3.7

运用分配律。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} - - 2 - e^{- 2 x}}{4}$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

解题步骤 4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.1

合并 $e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - e^{2 x} + 2 - e^{- 2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.1

从 $e^{2 x}$ 中减去 $e^{2 x}$ 。

$\frac{0 + 2 + e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

解题步骤 4.1.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 + e^{- 2 x} + 2 - e^{- 2 x}}{4}$

解题步骤 4.1.3

从 $e^{- 2 x}$ 中减去 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{2 + 0 + 2}{4}$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 + 2}{4}$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4}{4}$

解题步骤 4.2.2

用 $4$ 除以 $4$ 。

$1$

初级微积分 示例

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