初级微积分示例

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2 \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{12 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{12 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 5.3.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{12 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 5.3.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{12 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 5.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 5.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.1

约去公因数。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 5.3.4.4.2

重写表达式。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{1})}$

解题步骤 5.3.4.5

计算指数。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2)}$

解题步骤 5.3.5

乘以 $- (4 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{12 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{12 - 8}$

解题步骤 5.3.6

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt{4}$

解题步骤 5.3.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2}}$

解题步骤 5.3.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 6.3

化简。

$(0, 2 \sqrt{3})$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (2 \sqrt{3}))$

解题步骤 6.6

化简。

$(0, - 2 \sqrt{3})$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 2)$

解题步骤 7.3

化简。

$(0, 2)$

解题步骤 7.4

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (2))$

解题步骤 7.6

化简。

$(0, - 2)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.3.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.3.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{12 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.5

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{12 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{12 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.3.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{12 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{1})}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2)}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.8

乘以 $- (4 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 8.3.1.8.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 8}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\sqrt{12 - 8}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.9

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$\frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.10

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.1.11

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 8.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 8.3.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 8.3.4.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2)$

离心率： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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