初级微积分示例

$4 x^{4} + 3 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$4 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $3 u$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 u^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.2

把 $3$ 重写为 $- 1$ 加 $4$

$4 u^{2} + (- 1 + 4) u - 1 = 0$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$4 u^{2} - 1 u + 4 u - 1 = 0$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(4 u^{2} - 1 u) + 4 u - 1 = 0$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (4 u - 1) + 1 (4 u - 1) = 0$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $4 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(4 u - 1) (u + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 4

将 $4 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

将 $4 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 u - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $u$ 的 $4 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 u = 1$

解题步骤 4.2.2

将 $4 u = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $4 u = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{4}$

解题步骤 5

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 6

最终解为使 $(4 u - 1) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{4}, - 1$

解题步骤 7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

解题步骤 8

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

解题步骤 9

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 9.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 9.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 9.2.3

化简分母。

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解题步骤 9.2.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 9.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{1}{2}$

解题步骤 9.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 9.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 9.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 10

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = - 1$

解题步骤 11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 11.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 11.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 12

$4 x^{4} + 3 x^{2} - 1 = 0$ 的解是 $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$ 。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$

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