初级微积分示例

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 = X + 2$

解题步骤 1

将所有包含 $X$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $X$ 。

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 - X = 2$

解题步骤 1.2

从 $8 X$ 中减去 $X$ 。

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 = 2$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 - 2 = 0$

解题步骤 3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2 = 0$

解题步骤 4

使用有理根检验法因式分解 $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ 。

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解题步骤 4.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 4.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

解题步骤 4.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

$3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

解题步骤 4.3.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot - 8 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

解题步骤 4.3.3

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$- 24 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

解题步骤 4.3.4

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 24 + 9 \cdot 4 + 7 \cdot - 2 + 2$

解题步骤 4.3.5

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$- 24 + 36 + 7 \cdot - 2 + 2$

解题步骤 4.3.6

将 $- 24$ 和 $36$ 相加。

$12 + 7 \cdot - 2 + 2$

解题步骤 4.3.7

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$12 - 14 + 2$

解题步骤 4.3.8

从 $12$ 中减去 $14$ 。

$- 2 + 2$

解题步骤 4.3.9

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0$

解题步骤 4.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $X + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2}{X + 2}$

解题步骤 4.5

用 $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ 除以 $X + 2$ 。

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解题步骤 4.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$X$

$2$

$3 X^{3}$

$9 X^{2}$

$7 X$

$2$

解题步骤 4.5.2

将被除数中的最高阶项 $3 X^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $X$ 。

					$3 X^{2}$
	$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$

解题步骤 4.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			+	$3 X^{3}$	+	$6 X^{2}$

解题步骤 4.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 X^{3} + 6 X^{2}$ 中的所有符号

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$

解题步骤 4.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$

解题步骤 4.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

解题步骤 4.5.7

将被除数中的最高阶项 $3 X^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $X$ 。

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

解题步骤 4.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					+	$3 X^{2}$	+	$6 X$

解题步骤 4.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 X^{2} + 6 X$ 中的所有符号

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$

解题步骤 4.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$

解题步骤 4.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

解题步骤 4.5.12

将被除数中的最高阶项 $X$ 除以除数中的最高阶项 $X$ 。

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

解题步骤 4.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							+	$X$	+	$2$

解题步骤 4.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $X + 2$ 中的所有符号

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$

解题步骤 4.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$
										$0$

解题步骤 4.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$3 X^{2} + 3 X + 1$

解题步骤 4.6

将 $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ 书写为因数的集合。

$(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$X + 2 = 0$

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

解题步骤 6

将 $X + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $X$ 。

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解题步骤 6.1

将 $X + 2$ 设为等于 $0$ 。

$X + 2 = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$X = - 2$

解题步骤 7

将 $3 X^{2} + 3 X + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $X$ 。

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解题步骤 7.1

将 $3 X^{2} + 3 X + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $X$ 的 $3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2.2

将 $a = 3$ 、 $b = 3$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $X$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为两个解的组合。

$X = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 8

最终解为使 $(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$ 成立的所有值。

$X = - 2, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$

初级微积分 示例

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