初级微积分示例

$7 e^{x} = 6 - e^{- x}$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $e^{- x}$ 。

$7 e^{x} + e^{- x} = 6$

解题步骤 2

将 $e^{- x}$ 重写为乘方形式。

$7 e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 6$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$7 u + u^{- 1} = 6$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$7 u + \frac{1}{u} = 6$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 5.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 5.2

将 $7 u + \frac{1}{u} = 6$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $7 u + \frac{1}{u} = 6$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$7 u \cdot u + \frac{1}{u} u = 6 u$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

移动 $u$ 。

$7 (u \cdot u) + \frac{1}{u} u = 6 u$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

约去公因数。

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

重写表达式。

$7 u^{2} + 1 = 6 u$

解题步骤 5.3

求解方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $6 u$ 。

$7 u^{2} + 1 - 6 u = 0$

解题步骤 5.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3.3

将 $a = 7$ 、 $b = - 6$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4

化简。

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解题步骤 5.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.1.2.2

将 $- 28$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.1.3

从 $36$ 中减去 $28$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$

解题步骤 5.3.4.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{7}$

解题步骤 5.3.5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}, \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

解题步骤 6

代入 $\frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

解题步骤 7

求解 $\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ 。

$e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

解题步骤 7.3

展开左边。

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解题步骤 7.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

解题步骤 7.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

解题步骤 7.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

解题步骤 8

代入 $\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

解题步骤 9

求解 $\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ 。

$e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

解题步骤 9.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

解题步骤 9.3

展开左边。

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解题步骤 9.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

解题步骤 9.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

解题步骤 9.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

解题步骤 10

列出使方程成立的解。

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

小数形式：

$x = - 0.46108045 \dots, - 1.48482968 \dots$

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