初级微积分示例

$3 (2^{2 x}) - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $2^{2 x}$ 重写为 ${(2^{x})}^{2}$ 。

$3 \cdot {(2^{x})}^{2} - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = 2^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $2^{x}$ 。

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

解题步骤 1.3

分组因式分解。

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解题步骤 1.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = - 11$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $- 11 u$ 中分解出因数 $- 11$ 。

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

解题步骤 1.3.1.2

把 $- 11$ 重写为 $1$ 加 $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

解题步骤 1.3.1.3

运用分配律。

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

解题步骤 1.3.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

解题步骤 1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

解题步骤 1.3.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $2^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

$2^{x} - 4 = 0$

解题步骤 3

将 $3 \cdot 2^{x} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 \cdot 2^{x} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 \cdot 2^{x} = - 1$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3 \cdot 2^{x}) = \ln (- 1)$

解题步骤 3.2.3

因为 $\ln (- 1)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.2.4

$3 \cdot 2^{x} = - 1$ 无解

无解

无解

无解

解题步骤 4

将 $2^{x} - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2^{x} - 4$ 设为等于 $0$ 。

$2^{x} - 4 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $2^{x} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$2^{x} = 4$

解题步骤 4.2.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{x} = 2^{2}$

解题步骤 4.2.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

解题步骤 5

最终解为使 $(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$