初级微积分示例

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

解题步骤 1

将方程重写为 $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ 。

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

解题步骤 2

化简 $x (x + 7) (18 - 2 x)$ 。

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解题步骤 2.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.1.1

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

解题步骤 2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

解题步骤 2.1.2.2

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $18$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

解题步骤 2.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

解题步骤 2.3.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

解题步骤 2.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

解题步骤 2.3.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

解题步骤 2.3.1.4

将 $18$ 乘以 $7$ 。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

解题步骤 2.3.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

解题步骤 2.3.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.6.1

移动 $x$ 。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

解题步骤 2.3.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

解题步骤 2.3.1.7

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

解题步骤 2.3.2

从 $18 x^{2}$ 中减去 $14 x^{2}$ 。

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $240$ 。

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

解题步骤 4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1

从 $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

解题步骤 4.1.2

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

解题步骤 4.1.3

从 $126 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

解题步骤 4.1.4

从 $- 240$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

解题步骤 4.1.5

从 $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

解题步骤 4.1.6

从 $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

解题步骤 4.1.7

从 $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

解题步骤 4.3

因数。

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解题步骤 4.3.1

使用有理根检验法因式分解 $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

解题步骤 4.3.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

解题步骤 4.3.1.3

代入 $8$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $8$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.3.1.3.1

将 $8$ 代入多项式。

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

解题步骤 4.3.1.3.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

解题步骤 4.3.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $512$ 。

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

解题步骤 4.3.1.3.4

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

解题步骤 4.3.1.3.5

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

解题步骤 4.3.1.3.6

将 $- 512$ 和 $128$ 相加。

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

解题步骤 4.3.1.3.7

将 $63$ 乘以 $8$ 。

$- 384 + 504 - 120$

解题步骤 4.3.1.3.8

将 $- 384$ 和 $504$ 相加。

$120 - 120$

解题步骤 4.3.1.3.9

从 $120$ 中减去 $120$ 。

$0$

解题步骤 4.3.1.4

因为 $8$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 8$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

解题步骤 4.3.1.5

用 $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ 除以 $x - 8$ 。

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解题步骤 4.3.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

解题步骤 4.3.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

解题步骤 4.3.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

解题步骤 4.3.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + 8 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

解题步骤 4.3.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

解题步骤 4.3.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

解题步骤 4.3.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

解题步骤 4.3.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

解题步骤 4.3.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x^{2} + 48 x$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

解题步骤 4.3.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

解题步骤 4.3.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

解题步骤 4.3.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $15 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

解题步骤 4.3.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

解题步骤 4.3.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $15 x - 120$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

解题步骤 4.3.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

解题步骤 4.3.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{2} - 6 x + 15$

解题步骤 4.3.1.6

将 $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ 书写为因数的集合。

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

解题步骤 4.3.2

去掉多余的括号。

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

解题步骤 6

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 7

将 $- x^{2} - 6 x + 15$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- x^{2} - 6 x + 15$ 设为等于 $0$ 。

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2.2

将 $a = - 1$ 、 $b = - 6$ 和 $c = 15$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.2.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.2.3.1.3

将 $36$ 和 $60$ 相加。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.2.3.1.4

将 $96$ 重写为 $4^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.4.1

从 $96$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.2.3.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

解题步骤 7.2.3.3

化简 $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ 。

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

解题步骤 7.2.3.4

移动 $\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

解题步骤 7.2.3.5

将 $- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ 重写为 $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ 。

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

解题步骤 7.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

解题步骤 8

最终解为使 $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ 成立的所有值。

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

小数形式：

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$

初级微积分 示例

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