初级微积分示例

$20 {(1.07)}^{x} = 8 {(1.13)}^{x}$

解题步骤 1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (20 \cdot {1.07}^{x}) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

解题步骤 2

展开左边。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (20 \cdot {1.07}^{x})$ 重写为 $\ln (20) + \ln ({1.07}^{x})$ 。

$\ln (20) + \ln ({1.07}^{x}) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

解题步骤 2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({1.07}^{x})$ 。

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

解题步骤 3

展开右边。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (8 \cdot {1.13}^{x})$ 重写为 $\ln (8) + \ln ({1.13}^{x})$ 。

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8) + \ln ({1.13}^{x})$

解题步骤 3.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({1.13}^{x})$ 。

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8) + x \ln (1.13)$

解题步骤 4

将 $\ln (20)$ 和 $x \ln (1.07)$ 重新排序。

$x \ln (1.07) + \ln (20) = \ln (8) + x \ln (1.13)$

解题步骤 5

将 $\ln (8)$ 和 $x \ln (1.13)$ 重新排序。

$x \ln (1.07) + \ln (20) = x \ln (1.13) + \ln (8)$

解题步骤 6

将所有包含对数的项移到等式左边。

$x \ln (1.07) + \ln (20) - x \ln (1.13) - \ln (8) = 0$

解题步骤 7

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{20}{8}) = 0$

解题步骤 8

约去 $20$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 (5)}{8}) = 0$

解题步骤 8.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2}) = 0$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2}) = 0$

解题步骤 8.2.3

重写表达式。

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{5}{2}) = 0$

解题步骤 9

从等式两边同时减去 $\ln (\frac{5}{2})$ 。

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) = - \ln (\frac{5}{2})$

解题步骤 10

从 $x \ln (1.07) - x \ln (1.13)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 10.1

从 $x \ln (1.07)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (1.07)) - x \ln (1.13) = - \ln (\frac{5}{2})$

解题步骤 10.2

从 $- x \ln (1.13)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (1.07)) + x (- 1 \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

解题步骤 10.3

从 $x (\ln (1.07)) + x (- 1 \ln (1.13))$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (1.07) - 1 \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

解题步骤 11

将 $- 1 \ln (1.13)$ 重写为 $- \ln (1.13)$ 。

$x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

解题步骤 12

将 $x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$ 中的每一项除以 $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ 并化简。

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解题步骤 12.1

将 $x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$ 中的每一项都除以 $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ 。

$\frac{x (\ln (1.07) - \ln (1.13))}{\ln (1.07) - \ln (1.13)} = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

解题步骤 12.2

化简左边。

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解题步骤 12.2.1

约去 $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (\ln (1.07) - \ln (1.13))}{\ln (1.07) - \ln (1.13)} = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

解题步骤 12.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

解题步骤 12.3

化简右边。

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解题步骤 12.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

小数形式：

$x = 16.79449763 \dots$

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