初级微积分示例

$x^{4} - x^{3} + x - 1 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{4} - x^{3}) + x - 1 = 0$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{3} (x - 1) + 1 (x - 1) = 0$

解题步骤 1.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x - 1) (x^{3} + 1) = 0$

解题步骤 1.3

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$(x - 1) (x^{3} + 1^{3}) = 0$

解题步骤 1.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

解题步骤 1.5

因数。

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解题步骤 1.5.1

化简。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

解题步骤 1.5.1.2

一的任意次幂都为一。

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

解题步骤 1.5.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5

将 $x^{2} - x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x^{2} - x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

最终解为使 $(x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

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