初级微积分示例

$z^{3} = - 343$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $343$ 。

$z^{3} + 343 = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $343$ 重写为 $7^{3}$ 。

$z^{3} + 7^{3} = 0$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = z$ 和 $b = 7$ 。

$(z + 7) (z^{2} - z \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$(z + 7) (z^{2} - 7 z + 7^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$(z + 7) (z^{2} - 7 z + 49) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$z + 7 = 0$

$z^{2} - 7 z + 49 = 0$

解题步骤 4

将 $z + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $z$ 。

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解题步骤 4.1

将 $z + 7$ 设为等于 $0$ 。

$z + 7 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$z = - 7$

解题步骤 5

将 $z^{2} - 7 z + 49$ 设为等于 $0$ 并求解 $z$ 。

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解题步骤 5.1

将 $z^{2} - 7 z + 49$ 设为等于 $0$ 。

$z^{2} - 7 z + 49 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $z$ 的 $z^{2} - 7 z + 49 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 7$ 和 $c = 49$ 的值代入二次公式中并求解 $z$ 。

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $49$ 。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $49$ 中减去 $196$ 。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $- 147$ 重写为 $- 1 (147)$ 。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (147)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ 。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$z = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.7

将 $147$ 重写为 $7^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.7.1

从 $147$ 中分解出因数 $49$ 。

$z = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.7.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$z = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$z = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.1.9

将 $7$ 移到 $i$ 的左侧。

$z = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$z = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$z = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

最终解为使 $(z + 7) (z^{2} - 7 z + 49) = 0$ 成立的所有值。

$z = - 7, \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

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