初级微积分示例

$| 2 x - 5 | = 3 x^{2}$

解题步骤 1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$2 x - 5 = \pm 3 x^{2}$

解题步骤 2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$2 x - 5 = 3 x^{2}$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$2 x - 5 - 3 x^{2} = 0$

解题步骤 2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4

将 $a = - 3$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 5$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot - 5}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 5$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot - 5}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 5$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 60}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $60$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $- 56$ 重写为 $- 1 (56)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (56)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.7

将 $56$ 重写为 $2^{2} \cdot 14$ 。

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解题步骤 2.5.1.7.1

从 $56$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{14}}{- 6}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{14}}{- 6}$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{14}}{3}$

解题步骤 2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{14}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{14}}{3}$

解题步骤 2.7

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$2 x - 5 = - 3 x^{2}$

解题步骤 2.8

在等式两边都加上 $3 x^{2}$ 。

$2 x - 5 + 3 x^{2} = 0$

解题步骤 2.9

分组因式分解。

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解题步骤 2.9.1

重新排序项。

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

解题步骤 2.9.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 2.9.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

解题步骤 2.9.2.2

把 $2$ 重写为 $- 3$ 加 $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

解题步骤 2.9.2.3

运用分配律。

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

解题步骤 2.9.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.9.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

解题步骤 2.9.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

解题步骤 2.9.4

通过因式分解出最大公因数 $x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

解题步骤 2.10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

解题步骤 2.11

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.11.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.11.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.12

将 $3 x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.12.1

将 $3 x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 5 = 0$

解题步骤 2.12.2

求解 $x$ 的 $3 x + 5 = 0$ 。

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解题步骤 2.12.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$3 x = - 5$

解题步骤 2.12.2.2

将 $3 x = - 5$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.12.2.2.1

将 $3 x = - 5$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

解题步骤 2.12.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.12.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

解题步骤 2.12.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 5}{3}$

解题步骤 2.12.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.12.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5}{3}$

解题步骤 2.13

最终解为使 $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{5}{3}$

解题步骤 2.14

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1 + i \sqrt{14}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{14}}{3}, 1, - \frac{5}{3}$

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