初级微积分示例

$\sqrt{3 x - 2} = 4 - x$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{3 x - 2}}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x - 2}$ 重写成 ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(3 x - 2)}^{1} = {(4 - x)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$3 x - 2 = {(4 - x)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(4 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(4 - x)}^{2}$ 重写为 $(4 - x) (4 - x)$ 。

$3 x - 2 = (4 - x) (4 - x)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 - x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$3 x - 2 = 4 (4 - x) - x (4 - x)$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$3 x - 2 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$3 x - 2 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$3 x - 2 = 16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$3 x - 2 = 16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x - 2 = 16 - 4 x - 4 x - x (- x)$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$3 x - 2 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$3 x - 2 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x - 2 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x - 2 = 16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 x - 2 = 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$3 x - 2 = 16 - 8 x + x^{2}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$16 - 8 x + x^{2} = 3 x - 2$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$16 - 8 x + x^{2} - 3 x = - 2$

解题步骤 3.2.2

从 $- 8 x$ 中减去 $3 x$ 。

$16 + x^{2} - 11 x = - 2$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $2$ 。

$16 + x^{2} - 11 x + 2 = 0$

解题步骤 3.4

将 $16$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} - 11 x + 18 = 0$

解题步骤 3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 11 x + 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $18$ ，和为 $- 11$ 。

$- 9, - 2$

解题步骤 3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 9) (x - 2) = 0$

解题步骤 3.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.7

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 3.8

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.8.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.9

最终解为使 $(x - 9) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 9, 2$

解题步骤 4

排除不能使 $\sqrt{3 x - 2} = 4 - x$ 成立的解。

$x = 2$

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