初级微积分示例

$\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简 $\log (x - 3) + \log (x + 5)$ 。

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解题步骤 1.1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log (2 x + 1) = \log ((x - 3) (x + 5))$

解题步骤 1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x + 5)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$\log (2 x + 1) = \log (x (x + 5) - 3 (x + 5))$

解题步骤 1.1.2.2

运用分配律。

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (x + 5))$

解题步骤 1.1.2.3

运用分配律。

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

解题步骤 1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

解题步骤 1.1.3.1.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 5)$

解题步骤 1.1.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 x - 3 x - 15)$

解题步骤 1.1.3.2

从 $5 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 2 x - 15)$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$2 x + 1 = x^{2} + 2 x - 15$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 2 x - 15 = 2 x + 1$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$x^{2} + 2 x - 15 - 2 x = 1$

解题步骤 3.2.2

合并 $x^{2} + 2 x - 15 - 2 x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$x^{2} + 0 - 15 = 1$

解题步骤 3.2.2.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 15 = 1$

解题步骤 3.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.1

在等式两边都加上 $15$ 。

$x^{2} = 1 + 15$

解题步骤 3.3.2

将 $1$ 和 $15$ 相加。

$x^{2} = 16$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{16}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 3.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 4$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 4$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 4$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 4, - 4$

解题步骤 4

排除不能使 $\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$ 成立的解。

$x = 4$

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