初级微积分示例

$\log (x) = 1 - \log (x - 3)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log (x) + \log (x - 3) = 1$

解题步骤 2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log (x (x - 3)) = 1$

解题步骤 3

运用分配律。

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3) = 1$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log (x^{2} + x \cdot - 3) = 1$

解题步骤 4.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log (x^{2} - 3 x) = 1$

解题步骤 5

使用对数的定义将 $\log (x^{2} - 3 x) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{1} = x^{2} - 3 x$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $x^{2} - 3 x = 10^{1}$ 。

$x^{2} - 3 x = 10$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $10$ 。

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

解题步骤 6.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 10$ ，和为 $- 3$ 。

$- 5, 2$

解题步骤 6.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 5) (x + 2) = 0$

解题步骤 6.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.5

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 6.6

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6.7

最终解为使 $(x - 5) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 2$

解题步骤 7

排除不能使 $\log (x) = 1 - \log (x - 3)$ 成立的解。

$x = 5$

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