初级微积分示例

$\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log ((x - 3) (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (2 x - 5)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log (x (2 x - 5) - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\log (2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\log (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log (2 x^{2} + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log (2 x^{2} - 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.3.1.5

将 $- 3$ 乘以 $- 5$ 。

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 1.3.2

从 $- 5 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

$1$ 的对数底 $3$ 的值为 $0$ 。

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 6^{\log_{6} (2)}$

解题步骤 2.1.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 2$

解题步骤 2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{2} = 2 x^{2} - 11 x + 15$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$ 。

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$

解题步骤 4.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 100$

解题步骤 4.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $100$ 。

$2 x^{2} - 11 x + 15 - 100 = 0$

解题步骤 4.3.2

从 $15$ 中减去 $100$ 。

$2 x^{2} - 11 x - 85 = 0$

解题步骤 4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5

将 $a = 2$ 、 $b = - 11$ 和 $c = - 85$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 85)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

化简分子。

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解题步骤 4.6.1.1

对 $- 11$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 85$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 85$ 。

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 680}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.1.3

将 $121$ 和 $680$ 相加。

$x = \frac{11 \pm \sqrt{801}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.1.4

将 $801$ 重写为 $3^{2} \cdot 89$ 。

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解题步骤 4.6.1.4.1

从 $801$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{11 \pm \sqrt{9 (89)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.1.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{11 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 89}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{4}$

解题步骤 4.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}, \frac{11 - 3 \sqrt{89}}{4}$

解题步骤 5

排除不能使 $\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$ 成立的解。

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

小数形式：

$x = 9.82548584 \dots$

初级微积分 示例

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