初级微积分示例

$\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log ((x - 2) (3 x + 3)) = 1$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (3 x + 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log (x (3 x + 3) - 2 (3 x + 3)) = 1$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x + 3)) = 1$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\log (3 x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\log (3 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log (3 x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log (3 x^{2} + 3 \cdot x - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

解题步骤 1.3.1.4

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 2 \cdot 3) = 1$

解题步骤 1.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 6) = 1$

解题步骤 1.3.2

从 $3 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{1} = 3 x^{2} - 3 x - 6$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $3 x^{2} - 3 x - 6 = 10^{1}$ 。

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 10$

解题步骤 3.2

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $10$ 。

$3 x^{2} - 3 x - 6 - 10 = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 6$ 中减去 $10$ 。

$3 x^{2} - 3 x - 16 = 0$

解题步骤 3.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4

将 $a = 3$ 、 $b = - 3$ 和 $c = - 16$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 16)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 16$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 16$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.3

将 $9$ 和 $192$ 相加。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{6}$

解题步骤 3.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}, \frac{3 - \sqrt{201}}{6}$

解题步骤 4

排除不能使 $\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$ 成立的解。

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

小数形式：

$x = 2.86290781 \dots$

初级微积分 示例

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